2019年9月，数理学院-数学学部赵丽娜老师（通讯作者）在国际著名数学期刊《Numerical Algorithms》上发表了题为“Alternating direction and Taylor expansion minimization algorithms for unconstrained nuclear norm optimization”的研究论文。

     本论文提出了两种高效算法分别求解带有混合噪音的矩阵恢复和矩阵填充问题。首先就带有混合噪声的低秩矩阵恢复问题提出了交替方向步长最小化(ADSM)算法来求解，该算法利用交替方向最小化思想，求解了描述小噪声(如高斯噪声)的一般松弛模型。稀疏噪声与小噪声的耦合使得低秩矩阵恢复比稳定的主成分分析模型更具挑战性。ADSM算法利用泰勒展开、奇异值分解和收缩算子作为交替方向极小化方法，推导出迭代方向矩阵。为了加快收敛速度，在ADSM中引入了连续技术。本论文的第二个贡献是就矩阵填充问题设计出结合了泰勒展开和步长最小化(TESM)算法。论文从理论上证明了两种算法在一定条件下全局收敛到各自的最优点。数值结果表明，ADSM和TESM在许多情况下都能有效地恢复大规模低秩矩阵问题。文中的两个算法可以应用到图像去噪、视频处理、网络搜索、生物信息等问题中

原文链接：https://doi.org/10.1007/s11075-018-0630-z

（Numerical Algorithms，September 2019, Volume 82, Issue 1, pp 371–396）

图1：不同参数值sigma的恢复结果对比

图2：人脸去噪的恢复结果。

     本文通讯作者为数理学院的赵丽娜老师，北京信息科技大学，澳大利亚墨尔本大学为合作单位。本研究工作得到了国家自然科学基金委项目的资助。